" 人類生活在十維的宇宙中。"
這可不是什麼《三體》看上頭後的狂言，而是出自丘成桐之口。
這位數學最高獎——菲爾茲獎首位華人得主，曾在公開演講中談到：
人類生活在十維的宇宙中，但隻有四維時空可見，剩下的六維空間蜷縮在一個幾何結構特異的空間中。
沒想到，這個看上去玄乎又難以理解的概念，會被世界級數學家肯定。
但實際上，弦論的支持者們始終認為平行宇宙必定具有十個維度，并一直力求證明其存在。
對，就是 Sheldon 癡迷的那個弦論。
而更讓人意想不到的是，正是丘成桐 27 歲時的成名之作，成為了弦論學者笃信十維空間的關鍵論據之一。
1985 年，物理學家坎德拉斯、霍洛維茨等人合著論文《超弦的真空結構》指出，多出來的六個維度，必須隐藏于卡拉比 - 丘流形之中。
隐藏六維的空間
事情還要從愛因斯坦的廣義相對論說起。
基于黎曼幾何這種包含彎曲空間的幾何學，愛因斯坦成功把重力理論和狹義相對論統一了起來，完成了著名的廣義相對論。
也就是說，廣義相對論這顆明星，正是幾何學和物理學的一個閃亮交點。
愛因斯坦本人就這樣解釋道：
這套理論指出重力場由物質的分布決定，并随之而演化，正如黎曼所猜測的那樣，空間并不是絕對的，它的結構與物理不能分割。我們宇宙的幾何絕不像歐氏幾何那樣孤立自足。
這顆明星，自然而然吸引了專注于幾何學的青年丘成桐的注意。
上世紀 70 年代，在研究愛因斯坦方程組時，丘成桐開始思考一個問題：
能否找到一個真空，即沒有物質的時空，但其曲率并不平凡，即其重力非零。
并且這個時空光滑不帶奇點，是緊緻而封閉的。
△丘成桐，圖源：CCTV
其實，這就是幾何學家卡拉比在 1954 年提出的卡拉比猜想：在封閉的空間，有無可能存在沒有物質分布的引力場？
卡拉比猜想不僅指出封閉而具有重力的真空存在，而且還給出了系統地大量構造這類空間的途徑。
但在這一猜想提出的 22 年間，包括卡拉比自己在内，沒有人能夠證明它是否正确。
直到 1976 年，時年 27 歲的丘成桐一舉實現突破，證明卡拉比猜想成立，自此名動世界。
這一成果讓他在 1982 年成為數學界最高獎菲爾茲獎首位華人得主。
△卡拉比與丘成桐
也正是卡拉比猜想的證明，帶來了 " 超弦理論的基石 " ——卡拉比 - 丘流形。
具體而言，丘成桐在證明猜想的過程中，構建出了不帶物質的凱勒流形。也就是卡拉比 - 丘流形（又稱卡拉比 - 丘空間）。
△卡拉比 - 丘流形的 3 維投影，圖源：維基百科
1984 年，丘成桐接到了物理學家加裡 · 霍洛維茨（Gary Horowitz）和安迪 · 斯特魯明格（Andy Strominger）的電話。
他們兩人都是弦論的支持者。這裡所說的弦論指的是 " 超弦理論 "，其基本假設包括，所有基本粒子都是由不斷振動的弦線組成，時空具有超對稱性，并且是十維的。
他們告訴丘成桐，他們正在研究三維空間和時間之外，弦論中另外六個維度存在的形式。
具體而言，他們需要找到一種具有超對稱性的流形，并且根據弦理論，這個流形不帶任何物質分布，是真空的。
丘成桐回複說：
這些流形（卡拉比 - 丘流形）在維數等于 6 時，确實能滿足弦理論的要求。
次年，霍洛維茨、斯特魯明格，以及另外兩位物理學家坎德拉斯（Philip Candelas）和威滕（Edward Witten）合作發表了論文《超弦的真空結構》。
這篇文章指出，多出來的六個維度，必須隐藏于卡拉比 - 丘流形之中。此六維獨立于四維時空的每一個點。
更重要的是，如丘成桐本人所說：
（弦論）進一步指出卡拉比 - 丘空間的幾何，決定了這個宇宙的性質和物理定律。
哪種粒子能夠存在，質量是多少，它們如何相互作用，甚至自然界的一些常數，都取決于卡拉比 - 丘空間。
物理學家布萊恩 · 格林（Brian Greene）也說：
宇宙的密碼，也許就刻在卡拉比 - 丘空間的幾何之中。
最初打算找到卡拉比猜想的反例
鮮為人知的是，丘成桐最初了解到卡拉比猜想時，是想證明其所描述的空間并不存在。
理由很簡單：
這個猜想不僅指出封閉而具有重力的真空的存在性，還給出系統地大量構造這類空間的途徑，大家都認為世間哪有這樣便宜的東西可撿！
當時，不少幾何學家都在質疑卡拉比猜想的，不過還沒有人能給出反例。
根據猜想定義，一個第一陳類為 0 的緊緻 n 維凱勒流形上應該有一個裡奇平坦的度量。
隻要找出一個這樣的流形上，不存在裡奇平坦度量，猜想即可被推翻。
丘成桐花了差不多 3 年時間，來找尋這種反例。
1973 年，他終于得出了成果，并在出席國際幾何會議期間，将此消息告訴了幾位朋友。
消息一下子傳了開來，引發圈内震動，以至于他被要求在當天晚上對自己的成果另作報告。
丘成桐回憶，那晚有三十多位幾何學家聚在數學大樓的三樓，其中包括卡拉比、陳省身和其他知名學者。
他把自己如何構造出這一反例說了一遍，大家似乎都非常滿意，卡拉比本人甚至還為這一構造給出了一個解釋。
陳省身則在大會閉幕時拉着丘成桐說，這個反例或許可被視為整個大會最好的成果。
要知道，卡拉比猜想中涉及到的 " 陳類 " 概念，便是因陳省身而得名。
丘成桐描述自己當時的心情：" 既意外，又感到興奮不已。"
△陳省身與丘成桐
但反轉卻來得很快。
僅僅過去兩個月後，卡拉比緻信丘成桐，希望他能為自己解釋反例中一些沒有弄清楚的問題。
看到這封信，丘成桐馬上明白，自己出錯了。
在他的自述中提到，自此之後兩個星期，他不眠不休，希望能重新構造一個反例。
身心差不多要垮掉。
可是真理總愛捉弄人，每當他似乎找到一個理想中的反例時，總是瞬間有推翻它的理由出現。
如此經曆數次後，丘成桐選擇 180 度調轉研究方向，開始證明卡拉比猜想。
終于在 1976 年，卡拉比 - 丘空間和世人見面，轟動數學界，并為之後超弦理論的物理應用、" 超弦熱 " 奠定了數學基礎。
而順着這條研究路線，丘成桐之後還進一步論證了鏡像對稱猜想。
鏡對稱是指兩個具有不同拓撲的卡拉比 - 丘空間，看起來甚至沒什麼共通點，但卻擁有相同的物理定律。
最初是物理學家菲利普 · 坎德拉斯等人發現了這一問題，并從物理角度證明鏡像對稱可用于計算卡拉比 - 丘空間上有理曲線的數目。
丘成桐形容，鏡對稱是對偶性的一個重要例子。
它就像一面窗，讓我們窺見卡拉比 - 丘流形的隐秘。
實際上，很多在卡拉比 - 丘空間上要解決的難題，如果放到鏡像上考慮，問題往往迎刃而解。
1996 年，丘成桐和前文提到的斯特魯明格，以及埃裡克 · 紮斯洛（Eric Zaslow）共同提出 SYZ 猜想，這是理解鏡對稱猜想的一次嘗試。
SYZ 猜想提出，六維卡拉比 - 丘空間本質上可以分成兩個三維空間，其中之一是三維環面。如果模仿把半徑 r 變成 1/r 的操作，把這些三維環面 " 翻轉 "，并與另一個三維空間結合起來，就會得到原卡拉比 - 丘空間的鏡伴。
緊接着 1997 年，丘成桐和連文豪、劉克峰合作（與 Givental 同時），用局部化技巧完全證明關于卡拉比 - 丘空間上有理曲線計數的鏡猜想。
值得一提的是，其中連文豪是美國布蘭迪斯大學教授，于 2013 年獲陳省身獎。
劉克峰曾于 1998 年獲得斯隆獎。
正是他與丘成桐一起，發起創建了丘成桐數學英才班、創辦丘成桐中學數學論文獎和丘成桐大學生數學競賽。
他現任美國加州大學洛杉矶分校數學系教授、浙江大學數學中心執行主任。
One More Thing
在丘成桐的自傳中曾提到，由于卡拉比 - 丘空間流傳甚廣，甚至他自己有時都會産生錯覺：
卡拉比是否也是我的名字？
的确，從坎德拉斯等人在 30 年前将卡拉比 - 丘連接起來後，這個組合詞的意義有時已經超出了數學物理範圍。
比如伍迪 · 艾倫 2003 年在《紐約客》上發表的故事，裡面提到一位女士的微笑，" 向上彎成卡拉比 - 丘的形狀 "。
對此，丘成桐并不介意 " 卡拉比 " 是否會被混淆為他的名字。他覺得，很榮幸能和卡拉比一起并稱。
而另一位主人公卡拉比也曾說道：
我很高興我的名字和丘永遠連在一起。
參考鍊接：
[ 1 ] 丘成桐《我們真的活在十維時空裡嗎？》：https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d354/35401.pdf
[ 2 ] 丘成桐《我的幾何人生：丘成桐自傳》
[ 3 ] https://en.wikipedia.org/wiki/Calabi%E2%80%93Yau_manifold
[ 4 ] https://www.um.edu.mo/zh-hant/news-and-press-releases/presss-release/detail/18478/
