2024 年 9 月 24 日，在法國巴黎，聯合國教科文組織總部開啓了全球對于中國數學家劉徽的紀念活動。作爲本次活動的一部分，國内也進行了相關紀念，并稱劉徽爲中國古代數學理論的奠基者。
" 九章流徽——中國古典數學理論的主要奠基人劉徽 " 專題展
作爲中國古代最重要的算學家之一，劉徽遍注《九章算術》諸術，并論證其算法的正确性，又在天文學立表測影的基礎上作《重差》以補《九章算術》勾股章之不足（後命爲《海島算經》），成就卓越。數學史家郭書春先生贊其爲 " 古代世界數學泰鬥 "。不過，由于在正史中沒有傳記，學界曆來對劉徽的數學成就和科學精神談得較多，但對其生平事迹談得較少。
那麽，劉徽生平究竟怎樣？爲什麽地位如此重要但留下的記載如此稀少呢？這又與其成就和品格有何關系呢？本文試圖在既有研究基礎上利用現有材料對其生平事迹做進一步勾勒。
劉徽的生平
劉徽，三國曹魏間人，生卒年不可考，我們唯一知道的是其在魏景元四年（263 年）注解了《九章算術》。大觀三年（1109）宋廷頒布的 " 算學祀典 " 中有 " 魏劉徽淄鄉男 " 的記載，近人嚴敦傑先生（1917-1988）據此最先推測劉徽是山東省淄鄉人。在此基礎上，郭書春進一步推測淄鄉在今山東省鄒平縣内，并且劉徽是漢文帝劉恒之子梁孝王劉武五世孫菑鄉侯之後。從現有材料和各種間接證據來看，這一推測有其合理性。
劉徽注《九章算術》自序雲 " 徽幼習《九章》，長再詳覽 "，可見其從小就學習中國古代算學經典《九章算術》。劉徽自序雲 " 周公制禮而有九數，九數之流，則《九章》是矣。" 即認爲《九章算術》是由周代九數（即《周禮》" 九數 "）演變而來，這一看法與鄭玄對《周禮》的注解完全一緻，可見劉徽實服膺鄭玄之說，儒家經典及其鄭玄注也是劉徽學習的教科書。
根據郭書春、周瀚光等學者的研究，劉徽注中明确引用的有《墨子》和《考工記》，間接引用的先秦著作則有《周易》《周禮》《老子》《莊子》《荀子》《管子》等，引用的漢代著作也有《淮南子》《論衡》等篇，可見其讀書之博。而且劉徽作注的用詞和推理模式與當時竹林七賢之一的嵇康（224-263）以及何晏（？-249）、王弼（226-249）等魏晉名士高度類似，可見其深受當時魏晉玄學辯難之風的影響。如果考慮到劉徽極高的數學成就，我們可以推測他其實與嵇、何、王等同屬名士。
劉徽作注的景元四年，曹魏政權早已名存實亡落入司馬氏之手，而且距離司馬炎（236-290）稱帝僅剩兩年。唐初李淳風（602-670）将劉徽标識爲魏人，但入晉以後又沒有留下任何關于劉徽的文字記載，因此十多年前筆者與法國林力娜（Karine Chemla）教授在交流中就推測劉徽很可能忠于漢魏，而沒有爲司馬氏服務，從而導緻其不入正史。
按中國古代王朝新立之初，往往需要制禮作樂以彰顯其政權的合法性。與劉徽同時代的荀勖（？-289）精通數學、音律、度量衡，于泰始元年（266 年）爲司馬氏修訂律令度量衡，以精準的黃鍾之聲爲晉朝的合法性加持，被加授光祿大夫，《晉書》亦有傳。
與荀勖相比，劉徽在天文學、數學方面才能顯然隻高不低，但卻沒有爲司馬氏所用。劉徽自序雲 " 算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子 "，又雲 " 當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜于此耳 "，此兩句話一方面顯示出劉徽對其數學水平的高度自信，另一方面又透露出其遺憾或不滿未受朝廷重用之情。
劉徽《重差》第一問望海島，其島高近 1800 米，按郭書春的推測應實爲泰山。自古以來，泰山具有政治象征的含義，曆代帝王往往登泰山封禅。故劉徽不可直言測泰山，而避稱測海島，隐約有政治含義。又劉徽注《九章算術》兩處提到晉武庫中王莽銅斛，并以之來核驗其所得之圓周率。以往學界多以此爲晉朝武庫，也有人認爲劉徽實際考查過銅斛，之後莫紹揆（1917-2011）提出此實爲晉王武庫之說。其實，王莽銅斛是國家法定量器，亦具有政權的象征意義，由于與司馬家關系不近，入晉以後劉徽無可能接近。魏甘露三年（258 年）起，司馬昭（211-265）多次受封晉王、晉公而堅辭不受，其時具有象征意義的王莽銅斛很可能已經被移入晉武庫。以此論之，劉徽以數學來核驗銅斛，實亦有政治意味。劉徽之後，祖沖之（429-500）也做了類似工作，但祖氏是劉宋朝廷官員，其作爲顯然爲官方所認可。
由此可見，以重差之術測望泰山、以圓周率核校王莽銅斛實均有對司馬政權不滿之意，是以入晉以後便再無任何關于劉徽生平事迹的文字記載。
劉徽的數學成就
按今本《九章算術》分作九卷 246 問，現代數學史研究者郭書春、李繼闵、林力娜等均論證了其并非數學問題集，而是具有以算法爲中心的特點。然而，《九章算術》并無對算法正确性的說明，例如對于圓面積僅雲 " 半周乘半徑爲積步 "（即相當于圓面積 S=C/2 × D/2），劉徽注則補充了大量關于算法正确性的論證。
數學史家林力娜認爲演繹證明既非古希臘的特産，也不是證明的唯一形式，遂認爲劉徽注實爲中國數學的證明。邏輯學家鞠實兒則提出廣義論證理論，亦認爲劉徽注是中國古代的邏輯論證。美國斯塔佛大學内茲教授（Reviel Netz）則比較了劉徽與古希臘數學家阿基米德。
劉徽自序有雲 " 析理以辭，解體用圖 "。郭書春認爲劉徽以 " 率 " 解析算法，數學家吳文俊（1919-2017）則認爲劉徽以 " 出入相補 " 原理論證幾何公式。尤其是，在《九章算術》割圓術證明圓面積算法、陽馬術證明陽馬和鼈臑體積算法、開方術證明籌算開方法等注釋中，劉徽運用了近于無窮分析的方法，展現了極高的邏輯思維能力和精益求精的學術品格。
以往吳文俊、李文林等先生認爲總體而言中國與古希臘數學分占算法與演繹證明的兩端。以劉徽注視之，我們可以說中國數學證明往往出現在注疏而非經文之中，從而容易被忽略。唐初李淳風等奉勅整理漢唐算經，把劉徽注作爲《九章算術》标準注釋選入，參以祖沖之等人的注解，并以之爲國子監算學館的教科書，可見李氏高度認可劉徽的數學成就。由此可見，作爲爲《九章算術》算法提供全面證明和論證的學者，劉徽獨步數學的地位在唐代就已經被确立了。
《九章算術注》
劉徽的科學精神
劉徽的學問品格是與其精神世界分不開的。劉徽尊重他人的貢獻，其自序雲 " 是以敢竭頑魯，采其所見，爲之作注 "，就是明确說明其注解中有包含前人的内容，其注中亦常引舊說。爲此，錢寶琮（1892-1963）、嚴敦傑、郭書春等學者進一步分析出劉徽中 " 采其所見 " 的具體内容。
劉徽亦十分相信後學。其計算球體積時，設計出牟合方蓋而未能計算出其體積，便雲 " 敢不阙疑，以俟能言者。" 此問最終被祖沖之父子解決。顯然，劉徽不僅具有高度的自信，而且對于自身的數學成就有十分清醒、準确的認識。
劉徽勇于批評和指出他人的錯誤。例如對于傳統的周三徑一之率，劉徽直接說 " 世傳此法，莫肯精核，學者踵古，習其謬失。" 其批評張衡關于球體積計算隻考慮陰陽學說，則直雲 " 衡說之自然，欲協其陰陽奇耦之說而不顧疏密矣。雖有文辭，斯亂道破義，病也。"
中國古代做數學用籌算，魏晉時一度形成了浮誇的風氣，以用算籌多來顯示數學水平高，失去了本義。劉徽徑雲 " 或用算而布耗，方好煩而喜誤，曾不知其非，反欲以多爲貴 "。爲此，劉徽在方程章提出 " 雖布算不多，然足以算多 " 的簡約原則，并以身示範作方程新術。筆者認爲此舉就是要盡最大可能發揮籌算的功能（類似于現在編程時選擇占内存空間最小的算法），這一問題最終被南宋秦九韶（1208-1268）《數書九章》（1247）中以算圖解決。從世界數學史的角度看，文本化和符号化是古代數學通往現代數學的必經之路。就此而言，劉徽的思想可謂這一進程的先驅。
總之，我們可以推測劉徽出生于曹魏間，或由于家庭背景的原因自小便受到了良好的教育，學習了諸子百家與《九章算術》，并且在魏晉玄學的影響下成長爲一代名士，完成對《九章算術》的注釋并作《重差》" 綴于勾股之下 "，取得了高度理論化的數學成就。其爲人實事求是、敢于直言是非，又尊重他人、相信後學，對自己的成就有高度自信和清醒認識。入晉以後，或由于不滿司馬氏政權、拒絕與其合作，從而正史無傳。
劉徽的生平事迹在中國數學史上極爲少見，也許隻有一千年後的金朝大儒李冶（1192-1279）可作一對比。其時元朝皇帝忽必烈（1215-1294）召見李冶，并授翰林學士。李冶以病辭官，隐居不仕。其去世之前，語其子克修雲 " 吾平生著述，死後可盡燔去。獨《測圓海鏡》一書，雖九九小數，吾常精思緻力焉，後世必有知者，庶可布廣垂永乎 "。所謂《測圓海鏡》實與劉徽《重差》一類，都是屬于《九章算術》勾股章下的數學發展，而劉、李兩人都有對自己學問高度自信以及不伍于世流的特點，可謂隔代知音。
策劃制作
作者丨朱一文 科學技術史博士，中山大學哲學系教授、博士生導師，邏輯與認知研究所專職研究員
責編丨林林、丁峥
審校丨徐來
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