利維坦按：
大學時代癡迷于埃舍爾的畫作，總是對他作品中的各種幾何圖案和具象共置于同一空間感到好奇，比如下面這張木版畫，能看出埃舍爾對于幾何的迷戀：
《星》（Star），1948 年。© Flickr
埃舍爾還有很多類似的作品。比如《引力》（Gravitation，1952）是星狀十二面體，《雙行星》（Double Planetoid，1949）是兩個上下重疊的正四面體。埃舍爾很喜歡在正多面體上做文章，通過歐拉定理，我們可以推斷出一共有 5 種正多面體——四面體、立方體、八面體、十二面體、二十面體。這些也就是本文中的柏拉圖立體。
© wikimedia
埃舍爾不滿足于此，他還利用正多面體的組合、疊加、互嵌等方式構造更多的多面體，有的以後還被命名為埃舍爾多面體。再後來，在網上又看到了達 · 芬奇繪制的多面體手稿圖（當時還不知道這是為《神聖比例》做的配圖），真是太喜歡了。
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文藝複興時期，神秘的幾何立方體常常萦繞在人們心頭，向人們展現了第三維最純粹的精髓。諾姆 · 安德魯斯（Noam Andrews）研究了多面體如何從數學領域進入藝術領域，又如何從抽象的思維凝結成看得見摸得着的實物。
木刻版畫《阿基米德》，原作者拉斐爾，複刻者烏戈 · 達 · 卡普裡（Ugo da Carpi），約 1520 年。© www.royalacademy.org.uk
阿基米德神色遲疑，凝視着下邊立着的一個小斜方截半立方體，似乎這個奇怪的物體從未在自然界中出現過。他的身體通過多塊印闆以明暗對照法呈現出來，呈現出一種動态的感覺，又在半空中停下，陷入沉思。
在這幅複刻拉斐爾的作品中，烏戈 · 達 · 卡爾皮（Ugo da Carpi，1480-1532 年）采用對比手法表現人物和幾何體，令人贊歎。
小斜方截半立方體象征着理性、有序、非無限，似乎不是這個世界之物。它既代表自身，又代表自身的所有内涵，卡普裡便用焦點内外的明暗對比來呈現，仿佛它超脫于真實世界之外。
阿基米德的衣服皺巴巴、亂糟糟，沉浸在這個物件蘊含的深奧知識之中。他左手握着一塊白闆，猶豫要不要徹底正過身來，好好端詳這個多面體。或許，阿基米德覺得，要是真那麼做了，它以及它所代表的一切都可能從他的想象中消失。
多面體在西方文化史中是一個神秘的存在，但卻又随處可見。它是基本元素的象征，近代早期時主要分為兩大類：柏拉圖立體，又叫正多面體（規則體，corpor regulata），以及阿基米德立體，又叫半正多面體（不規則體，corpor irregulata），後者可以通過将前者截頂，削角或修裁得出。
世界上隻存在五個完全規則和對稱的正多面體，分别是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，一個不多，一個也不少。在 16 世紀初的藝術家、數學家和哲學家看來，它們對稱、規則、完美，散發着神性的誘人氣息，蘊含了從物質基本組成到人體比例再到宇宙結構的一切真理。
透視幾何的成熟，使人們更加迫切渴望能夠逼真地描繪立方體。根據喬爾喬 · 瓦薩裡（Giorgio Vasari，1511 – 1574）等人的理論，隻有多年嚴格的藝術訓練，才能從事繪畫或設計工作，才能充分把 " 腦海中的想法和概念 " 體現在紙面上。類似地，要想成功表現出三維形式的柏拉圖多面體，就一定要大膽揭開橫亘在外在世界與本質世界之間的那層面紗，帶着這些可以具象化的傑作凱旋。
柏拉圖立體（正六面體和正二十面體）的變形，摘自文策爾 · 雅姆尼策（Wenzel Jamnitzer）《透視法》（Perspectiva Corporum Regularium，1568 年）。© wikimedia
星形十二面體（大十二面體），摘自文策爾 · 雅姆尼策《透視法》（1568 年）。© wikimedia
正在繪制透視圖的文策爾 · 雅姆尼策。© wikimedia
雖然通常來說，文藝複興在藝術史和建築史上成就非凡，閃爍着天才的火花，但在科學史和數學史中，文藝複興将這個世界中原本隐匿的概念、理念沖突推到了前台。在這一時期，人們在黑暗傳統中掙紮，才剛剛開始探索和測量新大陸，交流怪異的外來存在，疲于驗證最新印刷典籍中的數據集，糾正翻譯錯誤。
早期繪制立方體的嘗試打破了先前的曆史舊識和學科領域。16 世紀最開始的幾十年裡，一種披着基督教和人文主義外衣的柏拉圖主義以其前所未有的複雜性和矛盾性與透視法迎頭相撞，由此産生的力量把立方體從歐幾裡德劃時代的幾何專著《幾何原本》（Elements）中剝離出來，加以重構，成為第三維純粹而樸素的基元。
中世紀最受歡迎一版《幾何原本》出自數學家諾瓦拉的坎帕努斯（Campanus of Novara，約 1220-1296 年），他重新編寫了《幾何原本》的早期手稿，其中一些手稿在 12 世紀時從阿拉伯文翻譯成了拉丁文。
1250 年左右，坎帕努斯完成了《幾何原本》的重寫和編撰，并于 1482 年由德意志人埃爾哈特 · 羅多德（Erhard Ratdolt ，約 1442 – 1528 年）在威尼斯出版，該書首次在歐幾裡德的數學語言旁配有解釋性圖表，開創印刷數學書籍先河，因而聞名于世。
《建築十書》中達 · 芬奇繪制的維特魯威的人體比例，這幅由鋼筆和墨水繪制的手稿，描繪了一個男人在同一位置上的 " 十 " 字型和 " 火 " 字型的姿态，并同時被分别嵌入到一個矩形和一個圓形當中。1490 年左右。© ResearchGate
維特魯威（Vitruvius）的《建築十書》（De architectura）在 15 世紀被重新發現時也是一份沒有插圖的手稿，出版商們配上插圖後大賣。同他們一樣，羅多德肯定也清楚地知道給經典作品加上插圖之後的巨大商機。不過，《幾何原本》與《建築十書》又有很大不同，後者對建築的細緻描述本就給後續藝術加工留下了足夠的空間，而要想精确構築《幾何原本》中提到的圖形，就必需完全正确地理解其中的所有數學術語和相關說明。這個過程無疑相當痛苦。
歐幾裡德《幾何原本》首頁，埃爾哈特 · 羅多德版本（1482）的副本，現藏于多倫多大學托馬斯 · 費希爾圖書館。© www.maa.org
羅多德所設想的立方體繪圖類似于任何近代數學教科書中都能看到那種圖解，但操作中卻在三維上面犯了難。立方體具象化主要遇到了三大阻礙，首先，歐幾裡德的終版著作晦澀難懂，其次，木版印刷的機械制作基于的是一種新興技術，最後，三維幾何将如何在二維紙張上呈現。
歐幾裡德《幾何原本》，埃爾哈特 · 羅多德版本（1482），該特别副本來自慕尼黑，1484 年由羅多德捐贈給奧格斯堡的加爾默爾修道會，藏于巴伐利亞州立圖書館。該頁内容試圖描述三維圖形。© www.loc.gov
此前也曾有人嘗試過用透視法來描繪多面體，最著名的是保羅 · 烏切洛（Paolo Uccello，約 1397-1475 年），他在威尼斯聖馬可大教堂的大理石地闆上創作了（小）星形十二面體。
位于威尼斯聖馬可大教堂的（小）星形十二面體，保羅 · 烏切洛。© Pinterest
不過，第一本講述利用透視原理創作多面體的出版作品是盧卡 · 帕喬利（Luca Pacioli）的《神聖比例》（De divina proportione，1509）。雖然這本書中的圖畫還有很大進步空間，但它的出版的的确确激發了人們對如何将幾何圖形可視化的興趣。
《神聖比例》中的八面體。© onb.digital
同時，《神聖比例》也反映了應用透視法繪制多面體時面臨的困難。埃爾哈特 · 羅多德《幾何原本》的前兩個版本因為列奧納多 · 達 · 芬奇（Leonardo da Vinci）等人的生動彩色插畫而奪人眼球，但木版印刷出來的多面體相當粗糙，有很多雜亂無章的實線和不知所謂的陰影。
以其中具有代表性的一個圖案為例（如上圖），虛線代表了正八面體最左面上的側光，它和正八面體兩塊深色面上不均勻分布的陰影差異明顯，深色陰影沒有達到藝術家預期的三維效果。同樣，在 "Octaedron elevatum solidum（直譯為‘凸起的八面體’，如下圖）" 中，（為了描繪出投影）實線表達的投影與表達側光的虛線出現在同一個面上。
© onb.digital
創作者采用了有限的紋理（虛線，實線和空白）繪制了這些早期圖案，顯然還不夠成熟，他試圖賦予每個立方體生命，但卻沒能夠掌握陰影投射在物體上的技巧。在幾何學和幾何圖形之間，圖像描述的不可靠性已經暴露出它們對數學知識傳播的普遍影響。
列奧納多 · 達 · 芬奇或其團隊為盧卡 · 帕喬利著作《神聖比例》所作插圖，截面二十面體（ycocedron abscisus vacuus）和七十二邊球體（eptvaginta dvarvm basivm vacvvm），完稿于米蘭，約 1496-1498 年。© archive.org
意大利文藝複興時期，透視藝術占據重要地位，人們越來越渴望描繪真實世界。雖然要讀懂歐幾裡德關于三維構造的解釋需要破解卷帙浩繁的極具專業性的拉丁文，但在視覺這一理解幾何知識的全新領域中，藝術家和幾何學家可以大有作為。
随着《神聖比例》的流行，柏拉圖立體的實物模型在文藝複興時期的書房中随處可見，特别是應用于幾何透視學教學中。雖然那個時期的實物模型很少留存下來，但在有關文藝複興時期學者和藝術家的文字記載和各種視覺作品中，偶爾能看到這些模型，因此也就能讓今人一探究竟。
維托雷 · 卡爾帕喬（Vittore Carpaccio，1460 – 1520 年）一張學者速寫中就出現了幾個挂在工作區上方繩子上的多面體，有可能是星盤、天體儀，或者就是柏拉圖立體的模型。學者左手拿着一本書，右手拿着一個圓規，或許正在透過開着的窗戶觀察他正在測量的天象。
維托雷 · 卡爾帕喬，《一位在書房裡進行幾何測量的哲學家》，1502 年。© wikimedia
勒内 · 笛卡爾的同事、來自德國烏爾姆的數學家約翰内斯 · 福爾哈貝（Johannes Faulhaber，1580 – 1635 年），在其《新幾何論》（Newe geometrische vnd perspektiuische Inuentiones，1610 年）中也出現了類似的圖案，畫中清晰地顯示出書房門上方用鈎子懸挂着幾個柏拉圖立方體，下方一位男子正在繪制一個立方體的透視圖。福爾哈貝将這些立方體和直尺、星盤和圓規一樣視作測量工具必不可少的一部分，以丢勒畫風将它們定格，用陰影突出了表面；桌上的參考書打開着，其中一頁畫着一個透視四面體，另一頁是一個普通的建築圖形。
約翰内斯 · 福爾哈貝，《新幾何論》，1610 年，幾個柏拉圖立方體懸挂在書房上方。© digitalcollections.nypl.org
在繪畫中出現參考書并不罕見，但喬萬尼 · 雅各布 · 卡拉格裡奧（Giovanni Jacopo Caraglio，約 1500/1505-1565 年）複刻的帕爾米賈尼諾（Parmigianino，1503 – 1540 年）的畫作《第歐根尼》（Diogenes）中加入了更深層的學術質疑——這種做法可能會引發讨論。
版畫《第歐根尼》，作者喬萬尼 · 雅各布 · 卡拉格裡奧，原畫作者帕爾米賈尼諾。© www.metmuseum.org
在這幅銅版畫中，古希臘哲學家第歐根尼一邊指着一個正十二面體的印刷圖，一邊看向一本打開着的參考書，書背朝外，看不見内容。印着正十二面體的這本書可推測出是帕喬利的《神聖比例》，而那本立着的書就很難看出書名了，但根據尺寸，或許是最新出版的帶有羅多德配圖的《幾何原本》。
第歐根尼用木棍指着帕喬尼的書，無意中可能揭示了羅多德版本的配圖不夠完善：《神聖比例》中描繪的透視圖相對來說更加清晰，有助于理解立方體的存在。
在以數學研究為場景的肖像畫中，主人公手持、揮動、輕拿或用力抓住木棍或圓規的意象引入了一層教導的色彩。無論是形象上還是隐喻上，木棍都暗示了先天天賦和後天培養之間還有距離，需要有人進行指導、教育和責罰。在木棍的指點下，觀者被吸引到知識的表演中，成為知識傳播的見證者。另外兩幅手持木棍的著名人物畫像進一步說明了多面體是如何在獲取知識的過程中發揮作用的。
在德巴爾巴裡（de ’ Barbari）的《帕喬利肖像》（Portrait of Luca Pacioli）中，這位數學家身着方濟會的鬥篷，光彩照人，他專注地盯着一個懸挂着的玻璃小斜方截半立方體，裡面盛着一半的水，既突出了容器的體積，又顯示出德巴爾巴裡的透視繪畫技巧。
帕喬利兩隻手都在無意識地勾勒相同的物體輪廓：右手拿着粉筆畫的在一個圓圈裡的四面體，左手指着羅多德版《幾何原本》中相應的文字描述。帕喬利身側是一位貴族學徒或學生，他的目光斜視着觀者，引導視線彙聚到帕喬利桌子上放着的一個木質正十二面體模型上：
雅各布 · 德巴爾巴裡，《帕喬利肖像》，約 1500 年。© wikimedia
無獨有偶，尼古拉斯 · 德紐夏特（Nicolas de Neufch â tel，約 1524-1567 年）的畫作《紐倫堡書法大師約翰 · 諾伊德費爾與他的學生》（Der N ü rnberger Schreibmeister Johann Neud ö rffer mit einem Sch ü ler，1561 年）中描繪了 " 書法大師 " 諾伊德費爾正聚精會神地看着一個木質正十二面體框架模型的頂點。在他的左邊，一名學生正在記筆記，很可能是在嘗試畫出正十二面體。在他們倆的身後懸挂着一個木質正六面體，頂點朝上。再仔細觀察一下這幅畫，這個正六面體似乎是挂在諾伊德費爾書房後牆的一顆突出的釘子上。等諾伊德費爾用完正十二面體後，他或許也會把它挂在正六面體旁邊。
這兩個手持木棍的場景都發生在書房或者工作室這樣的空間裡，畫家都有意把背景塗暗，以突出主角的活動。不同于卡爾帕喬或者福爾哈貝，或其他同時代繪畫工作室内容的畫家，德巴爾巴裡和德紐夏特使用了樸素且深邃的背景以确保他們的繪畫傳遞出教育意象，而非簡單地對日常數學實驗的描繪。所有其他多餘的部分都被抹去，以突出教學和學習的主要内容。繪畫中的多面體既似真實存在，又似一場虛幻，體現了一種介于内心想象和實在物體之間的雙重現實。
尼古拉斯 · 德 · 紐夏特，《紐倫堡書法大師約翰 · 諾伊德費爾與他的學生》，1561 年。© wikimedia
模型有助于理解古希臘幾何原理并繪制立體圖形。但如果多面體的存在是為了闡明歐幾裡德的原理，則主要出現在歐幾裡德《幾何原本》的印刷版以及帕喬利《神聖比例》的圖示中，藝術家或者數學家在書房或者工作室裡研究的時候會參考。
反過來，這些印刷圖案也開始發揮自己的作用。例如，弗拉 · 喬瓦尼 · 達維羅納（Fra Giovanni da Verona）在錫耶納附近蒙特 · 奧利維托 · 馬焦雷（Monte Olivetto Maggiore）的修道院以及在維羅納 · 奧加納的聖瑪麗亞教堂中所做的細木鑲嵌裝飾上（二者均完工于 1520 年，下圖）就出現了一個七十二面球體，一個正二十面體，一個削頂的正二十面體，兩個小斜方截半二十面體，一個八面體，以及一個每一面都附有等邊正四面體的正六面體，這些立方體都出自《神聖比例》一書。
© georgehart
上述作品中的精湛技巧掩蓋了 16 世紀頭幾十年裡多面體幾何所遇到困境。當時，不是所有人都認為研究幾何相關資料是有意義的。對于瓦薩裡來說，當幾何透視成為繪畫的主要目的，甚至比繪畫整體的表現感更加重要時，這種避重就輕的做法所花費的精力和時間往往會讓藝術家陷入悲傷的境地。
盡管這些（立方體）巧妙而美麗，但如果一個人過分追求它們，他将一無所得，隻會浪費時間和精力，讓自己陷入難題中，并經常将它的富饒和樂趣變成貧瘠和束縛……更不用說他時常感到孤獨、變得古怪和憂郁，且困于貧窮之中。
或許正是這種追求讓丢勒（D ü rer）《憂郁 I》中的天使感到憂郁。天使是這幅畫中的标志性人物，也是藝術史上最著名但又難以捉摸的形象之一，她的姿勢暗示了協調抽象幾何知識世界和具體現實的物體、模型以及想象難如登天。
這幅畫不易解讀，它通過一系列讓人感到壓抑的象征性物品——魔方、饑餓的狗、抓着刻有标題木闆的蝙蝠、散落的工具，隐喻了當時人們封閉的精神世界。《憂郁 I》憑借其繪畫物體的密度，自我參照模糊的迷宮式結構，因而獨樹一幟。它試圖通過中介傳遞丢勒精湛的繪畫技術，同時也或多或少反映了他的内心世界，其極度精确性和巧思為觀者打開了一扇窗，讓我們透過畫作本身，看到了作者記憶和迷失的原初場景。
阿爾布雷特 · 丢勒，《憂郁 I》，1514 年。© wikimedia
《憂郁 I》引發了人們各種各樣的解讀，但其中最核心的讨論還是圍繞幾何在描述世界和藝術家自我理解方面的局限性。圖中的女子正在進行測量，周圍擺布着象征傳統幾何的物品，畫中大約中部位置能看到一個削頂的菱形六面體，将前景和消失在地平線上的平靜大海分隔開，顯然，這片海正是人物想要測量區域。
丢勒的作品使得諷喻主題繪畫名聲大噪， 自此之後，維吉爾 · 索利斯（Virgil Solis），亞伯拉罕 · 布洛馬爾特（Abraham Bloemaert），喬瓦尼 · 貝内代托 · 卡斯蒂利奧内（Giovanni Benedetto Castiglione）以及漢斯 · 塞巴德 · 貝哈姆（Hans Sebald Beham，1500-1550 年）等都有類似作品。
其中漢斯 · 塞巴德 · 貝哈姆的作品《憂郁》（Melancholia，1539 年）中出現了一個球體，工作室工具，還有一個正在擺弄圓規的魁梧女人，臉上的表情傳遞出一種默認的态度。然而，除了安特衛普藝術家約翰内斯 · 維裡克斯（Johannes Wierix，1549-1615 年）的《憂郁 I》（Melencolia I, 1602）摹本外，1514 年原作中的不規則立方體總是被有意識地忽略。
漢斯 · 塞巴德 · 貝哈姆，《憂郁》，1539 年。© wikimedia
多面體的視覺曆史充斥着錯誤的開始，痛苦的失敗，以及無法傳遞主題思想的表征。在繪畫作品中時常出現多面體，繪畫手法或精湛或生疏，但藝術家們總體上逐漸熟悉了多面體，并且不必知道歐幾裡得數學原理的所有細節。
這種熟悉程度要歸功于其複制品的技術，因此也要歸功于對于圖畫的質疑，這标志着文藝複興時期出現了與一成不變的古典模式截然不同的學習和思考方式。
盡管歐幾裡德由抽象的、理想化的參量得出絕對準确性，多年來被奉為圭臬，但當人們試圖将數學概念具象化而讓一般大衆也能理解時，卻産生了與直覺相悖的情況，比如在将幾何和神學推理運用到美學領域時，線條的形态、印刷品插圖的可靠性，最重要的是透視和判斷的運用都産生了不符合預想的情況。
雖然這些矛盾一直存在于 " 思辨科學 " 中，但在此之前，幾何學文字說明和圖像表示之間的差距還沒有被如達芬奇和丢勒等藝術家們感知到，更不用說德巴爾巴裡和德紐夏特了。
在有厚度的三維空間中構造完全現實存在的立方體，而非僅僅平面圖形，這種生疏感值得我們去探讨。将哲學概念引入有形事物鞏固了以眼見為實為基本需求的思維模式。幾何學 " 神聖本質 " 的根基已松動，自文藝複興後，理性和思維将繼續成為幾何學中一道無法抹去的顔色。
文 /Noam Andrews
譯 /Rachel
校對 /Muhi、瘦竹與腐竹
原文 /publicdomainreview.org/essay/polyhedral-perspective
本文基于創作共享協議（BY-NC），由 Rachel 在利維坦發布
文章僅為作者觀點，未必代表利維坦立場
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