貓貓和人的交互行爲，竟然被物理學家用方程式寫出來了！
其成果還正經刊登在了《美國物理學雜志》上。
起因就是這位名叫 Anxo Biasi 的小哥，有一天觀察起了自家貓貓，突發奇想：能否将貓視爲一個在人産生的勢場中運動的質點，用物理方程來描述其行爲？
結果通過仔細研究，他成功構建了一個能夠定性重現多種貓與人交互行爲特征的貓貓運動方程。
此前雖然物理學家已經研究過貓的一些特性（比如貓總能四腳着地的能力） ，還有下圖這種用來描述貓越小越可愛的 " 黑洞貓 " 幽默比喻。
但這項研究是首次以方程的形式對貓的典型行爲特征進行建模。
甚至貓貓在夜間瘋狂跑酷也被再現了。
還有貓貓通常會對主人的呼喚愛答不理，它們會在最喜歡的人的腿上待更久……
趴在主人腿上 VS 趴在陌生人腿上，be like：
網友們覺得甚是有趣，幫助大家理解一些經典力學概念的例子 +1。
真沒想到愛貓人士會做到如此地步。
貓運動方程，如何建立？
這位小哥将貓貓建模爲一個點粒子，首先結合日常觀察以及各種讨論中定義了貓貓的 7 種常見場景。
（點粒子，物理學中一種粒子理想化描述，主要特點是不占用空間。舉個例子，隻要離得夠遠，各種形狀的物體都會看似于一個點。）
明确指出的是，這是一項理論研究，沒有進行動物實驗，所有結論都建立在日常觀察和物理建模的基礎上。
此次關注的是貓與人互動的一個簡單場景：一隻貓和一個靜止的人在一起。
這 7 種行爲分别是：
P1：貓休息時通常會與人保持一定距離。
P2：當貓趴在人身上休息時（如趴在腿上、肚子上、背上），極小的刺激就可能使它們離開這個位置（如一隻蒼蠅、一個難以察覺的聲音、鄰近星系原子的 β - 衰變）。産生離開所需的擾動強度取決于貓對其所依靠的人的依戀程度。
P3：當貓被人撫摸時，它們會前後擺動。
P4：當貓被人呼喚時，它們很少回應。
P5：當貓決定接近呼喚它們的人時，它們往往會在途中分心，無法到達對方身邊。
P6：晚上，貓咪會随意在屋子裏跑酷。（這種情況被稱爲 "zoomies"）
P7：當貓喜歡被人撫摸時，它們會發出呼噜聲（發出柔和振動的聲音）。
當然，這些行爲并不具有普遍性。有些貓也可能表現得不太明顯。
定義完之後進行研究假設：貓的行爲就像它們感知到人周圍有一種力。
作爲初步近似，他們将貓的動力學模型定義爲在存在外部勢能（由靜止的人引起）和摩擦項的情況下，一個服從牛頓力學的點粒子。
其中 x（t）表示貓在時間 t 相對于位于 x=0 處的人的位置，m>0 是貓的質量，并且 ϵ >0 是摩擦系數，其值取決于每隻貓。
将微分方程轉化爲基于有理函數的形式。它提供了對平衡點的控制，這樣管理平衡點的數量、相對位置和穩定性。
其中，g>0 是耦合常數（從現在起将 g 簡化設置爲 g=1，但這不會改變模型的定性圖像）；δ 在 [ 0，1 ] 區間，反映了貓對人的依戀。
當 δ =0 時，點 x=0（人的位置）是不穩定的：貓對人沒有依戀。
當 δ＞0 時， 點 x=0 是穩定的。并且 δ 值越大，貓的依戀越強。當 δ =1 時，這表明貓對人有很強的依戀。
圖 1：（a）貓依附在人身上，（b）人對貓來說完全是陌生人。這兩種情況貓都處于靜止狀态，處于三個平衡點。
此外，需要公式 ( 1 ) 中的摩擦項來減少能量。否則，貓在活動一段時間後就不會趨于靜止狀态，比如左右兩側∞狀态。
爲了阻止貓的運動，需要 ϵ ≥ 0，而且摩擦力必須與速度的奇數次方成正比。
最後要注意的是，貓是在三維空間中移動的。然而，由于最重要的參數是貓和人之間的距離，我們假設貓沿着一條線移動，這進一步簡化了分析。
還将跑酷和發出呼噜聲模拟出來了
基于貓運動方程，小哥将貓的 7 種行爲定性地表示了出來。
P1：貓咪休息時通常會與人保持一定距離。這種行爲被中心外的全局最小值所捕捉。
如圖 1 所示，貓可能以不同的速度從許多位置開始，但由于摩擦項，最終會到達最小值。
在大多數情況下，最終位置将是全局最小值，特别是對于貓和人之間的弱聯系（δ 較小時）。
當 δ 趨近于 1 時，x=0 将成爲額外的全局最小值。
P2，該陳述的第一部分由勢能平衡點 x=0（人的位置）重現，因爲貓可能靠在人身上。
該陳述的第二部分是通過勢能對 δ 的依賴性來捕捉的。也就是說當 δ =0 時， x=0 是不穩定的，這表明在任意小的擾動下，貓都會偏離人。随着 δ 的增長，需要更強的刺激才能将貓從人身上分離。
P3， " 當貓被人撫摸時，它們會以振蕩運動來回移動。" 這種效應也在 x=0 附近的穩定區域重現（對于 δ＞0 的情況）。
當貓平靜地靠近人（動能低）時，它們會圍繞人進行小幅度的振蕩，并收斂到靜态，這歸功于方程中的摩擦項。
即使被陌生人撫摸（δ =0），貓也可能表現出這些穩定的振蕩，但爲此必須添加一個新變量（呼噜聲）。
觀察結果 P4 和 P5 可以用偏心最小值與人（x=0）之間的勢壘來解釋，如圖 1 所示。
P4 被呼喚的行爲被建模爲貓向人發出的沖動，這會導緻動能增加，這種能量注入可能足以或不足以克服勢壘。由于能量不足，貓會在一段時間後，再次收斂到靜止位置。
如下圖藍色（較暗）和綠色（較亮）軌迹所顯示。
當貓受到足夠強的刺激（沖動）接近人時，也就來到了 P5：" 當貓決定接近呼喚它們的人時，它們經常在途中分心而無法接近人。" 這一觀察結果也用上圖綠色（較淺）軌迹所示。
這一現象中，貓的質量也會起作用（Doge）， 貓獲得的速度會随着質量的增加而減小——
體重較輕的貓（例如小貓）會表現出精力充沛的動作并對任何刺激做出反應，而體重較重的貓（例如老年貓或喂食過度的貓）則不會表現出同樣的熱情。這也與觀察結果明顯一緻。
除此之外，作者還将這一方程進行了拓展：貓貓跑酷和呼噜聲，這兩種行爲也被重現了。
貓貓跑酷。
其中 σ 爲常數，f ( t ) 爲外部随機強迫。在給定時間内産生快速移動的概率取決于摩擦力 ϵ 和強迫 σ 的值。
這使我們能夠根據每隻貓的特殊性調整模型。例如，小貓不斷表現出這些時期，對應于較低的摩擦力和較高的強迫力，而老年貓則很少表現出這種活動。
（a）顯示貓可能突然從一個平衡點跑到另一個平衡點，在那裏停留一段時間，然後再次随機地回到上一個平衡點。（b）爲小貓（c）爲老年貓
對于第 7 種行爲，作者定義呼噜聲是一種穩定機制。
一部分原因在于當貓被撫摸并開始發出呼噜聲時，人們通常會有繼續撫摸貓的沖動，從而通過這種方式增強了過程的穩定性。
以卡皮察擺作爲類比，貓在發出呼噜聲時會振動，振動可以作爲不穩定平衡點的穩定機制，由此定義貓貓呼噜聲運動模型：
振動可以加強貓與人之間的有效聯系。
在原有貓方程基礎上，引入了外部振動強迫來模拟這種效果。
其中 G ( x ) 暫時爲無約束函數，β 和 Ω 分别爲貓中振動的振幅和頻率。此類驅動項模拟了在時間振蕩場中移動或受到周期性強迫的粒子。
好了，此舉從物理學的角度探索了貓與人之間的互動。
作者表示，這種互動模型旨在用于經典力學的入門課程，讓學生更好地熟悉平衡點、勢壘、摩擦或外力等概念。
靈感來自于自家的貓貓
此次研究成果來自理論物理學家Anxo Biasi和他家的貓貓Eme。
他主要研究非線性演化方程的動态行爲，特别關注奇異點的形成、長期動态行爲和湍流問題，這在流體動力學、玻色 - 愛因斯坦凝聚态和廣義相對論等領域具有廣泛應用。
Anxo 此前通過巴黎高等師範學院物理系的 La Caixa 青年領袖計劃，加入了加利西亞高能物理研究所（IGFAE）。
在 IGFAE，他已經完成了博士論文，并将加入弦理論相關領域的研究團隊，繼續研究物理學和數學交叉領域的非線性演化方程。
建立貓運動方程，最初源自于他在愚人節的一個想法：想找一種對學生更有吸引力的有趣方式來解釋物理。
他本人的貓貓 Eme 給了他靈感，通過仔細觀察 Eme 與他互動時的行爲，Anxo 發現這種行爲模式具有重複性和可預測性，于是開始自己嘗試用物理模型來描述這些行爲。
逐漸地，這一在某種程度上看似是開玩笑的事情，呈現出了學術形态。
爲此在緻謝中還特意感謝了 Eme。
這項工作還可以延伸到各種場景，除了可以從物理學角度探索貓與人之間互動其它特征，還可以探讨貓與貓、狗與狗或狗與人之間的互動。
好想知道貓貓打架是什麽方程哇～
參考鏈接：
[ 1 ] https://phys.org/news/2024-10-physicist-cat-reveal-equation-motion.html
[ 2 ] https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article/92/11/827/3317285/On-cat-human-interaction-from-the-viewpoint-of
[ 3 ] https://www.phys.ens.psl.eu/en/article/anxo-farina-biasi
